Memoriranje Schröderove metode kao učinkovite strategije za procjenu korijena nepoznate višestrukosti

Sažetak:

U ovom radu predlažemo, koliko nam je poznato, prvu iterativnu shemu s memorijom za pronalaženje korijena čija je višestrukost nepoznata koja postoji u literaturi. Poboljšava učinkovitost sličnog postupka bez memorije zahvaljujući Schröderu i može se smatrati sjemenom za generiranje metoda višeg reda sa sličnim karakteristikama. Nakon što se prouči njegov redoslijed konvergencije, analizira se njegova stabilnost pokazujući njegova dobra svojstva, te se numerički uspoređuje u smislu njihovih bazena privlačenja sa sličnim shemama bez memorije za pronalaženje višestrukih korijena.

Pamćenje je važan dio ljudske inteligencije i nužnost za ljudsko učenje, razmišljanje, stvaranje i život. Ali mnogi ljudi smatraju da im je pamćenje nedovoljno i često zaboravljaju važne stvari. Kvaliteta memorije usko je povezana s ponavljanjem memorije.

Takozvana iteracija pamćenja odnosi se na kontinuirano jačanje i konsolidaciju pamćenja u procesu ponovljenog učenja određene točke znanja ili vještine, a na kraju se transformira u dugoročno pamćenje. Ovaj proces ne samo da pomaže u konsolidaciji sjećanja, već također poboljšava njihovu količinu i kvalitetu.

Dakle, kako dobro iterirati memoriju? Prije svega, potrebno je u potpunosti razumjeti sadržaj učenja. Samo dubokim razumijevanjem znanje se može istinski utisnuti u um i izbjeći zaborav. Drugo, nastavite s pregledom. Opetovano ponavljanje naučenog znanja pomaže mozgu da produbi dojam prepoznavanja znanja, zaključivanja i razumijevanja, čime se poboljšava dugoročno pamćenje. Naposljetku, upotrijebite različite metode za pomoć u ponavljanju memorije. Na primjer, možete produbiti svoje pamćenje izradom mentalnih mapa, prepričavanjem itd.

Ukratko, iterativno pamćenje je složen i važan proces koji zahtijeva stalni napor i upornost. Samo tretiranjem iterativnog pamćenja kao načina života i njegovim integriranjem u sve aspekte svakodnevnog učenja, rada i života možemo kontinuirano poboljšavati svoje pamćenje, osposobiti se da se bolje nosimo sa složenim izazovima učenja i rada te pokazati novi osobni stil. Mesna pasta je tradicionalni kineski ljekoviti materijal koji ima mnogo jedinstvenih učinaka, a jedno od njih je poboljšanje pamćenja. Učinkovitost mljevenog mesa dolazi od različitih aktivnih sastojaka koje sadrži, uključujući karboksilnu kiselinu, polisaharide, flavonoide itd. Ovi sastojci mogu promicati zdravlje mozga kroz različite kanale.

Kliknite na 10 načina za poboljšanje pamćenja

Ključne riječi:

Nelinearne jednadžbe; iterativne metode s memorijom; više korijena; bez derivata; učinkovitost; stabilnost.

1. Uvod

U literaturi postoje (vidi, na primjer, Referencu [1–8]) brojne iterativne metode bez memorije, koje uključuju ili ne izvode, dizajnirane za procjenu višestrukih korijena nelinearne jednadžbe f(x)=0, ali većina njih treba znanje o višestrukosti m ovih korijena.

Poznato je da Schröderova metoda [9]:

budući da je pravi parametar, zahtijeva 4 evaluacije funkcije po koraku i više nije bez izvoda. Ova Traub-Steffensenova metoda na g je preskupa i ne razmatra se dalje.

Glavna prednost Schröderove sheme je njezina neovisnost o poznavanju mnogostrukosti nelinearne funkcije, za razliku od modificirane Newtonove metode za više korijena,

gdje je m mnogostrukost , koja u ovom slučaju mora biti poznata. Ovu shemu također je napravio Schröder (također vidi referencu [9]), a mi je označavamo sa SM2. Ova shema je konvergentna drugog reda i, stoga, optimalna, u smislu Kung-Traubove pretpostavke, (budući da koristi dvije nove funkcionalne evaluacije po iteraciji; vidi referencu [10]). Međutim, potrebno je znanje višestrukosti, dok ga SM1 ne koristi; usprkos tome, glavni nedostatak sheme SM1 je njena niska učinkovitost, budući da treba procijeniti tri nelinearne funkcije (f(x), f 0 (x) i f 00(x)) po iteraciji.

Naš cilj u ovom rukopisu je dvostruk: s jedne strane, željeli bismo povećati učinkovitost sheme SM1, zadržavajući njenu sposobnost pronalaženja višestrukih korijena množine m bez poznavanja m i, s druge strane, kombinirati u istom algoritmu sposobnost pronalaženja više korijena uz korištenje više od jedne prethodne iteracije. Dakle, predlažemo iterativnu shemu s memorijom za procjenu višestrukih korijena nepoznate višestrukosti. Koliko je nama poznato, u literaturi ne postoji iterativni postupak koji zadovoljava ova svojstva.

U analizi konvergencije predložene sheme moraju se uzeti u obzir neki aspekti, budući da je to iterativna metoda s memorijom pa se mora uzeti u obzir pogreška u nekoliko prethodnih iteracija, a višestrukost korijena m također bi trebala biti ključni element demonstracije, iako njena konkretna vrijednost nije poznata. S obzirom na ovu činjenicu, treba primijetiti da je f (q) ( ) {{0}} za q=1, 2, . . . , m − 1 i f (m) ( ) 6= 0. Dakle, Taylorova proširenja oko f i f 0 koja se pojavljuju u iterativnom izrazu trebaju uzeti u obzir ove informacije.

S druge strane, budući da je naša predložena shema iterativni postupak koji koristi tri prethodne iteracije za izračun sljedeće, potrebno je izraziti jednadžbu pogreške u smislu njihovih odgovarajućih pogrešaka i iz nje izvesti njezin red konvergencije. Ovo je napravljeno korištenjem klasičnog rezultata Ortege i Rheinboldta [11], koji je prikazan u nastavku.

Teorem 1. Neka je ψ iterativna metoda s memorijom koja generira niz {xk} aproksimacija korijenu , i neka taj niz konvergira u . Ako postoji konstanta različita od nule η i pozitivni brojevi ti, i=0, 1, . . . , m, tako da je nejednakost

U ovom rukopisu, odjeljak 2 posvećen je dizajnu i analizi konvergencije predložene iterativne metode bez derivacija s memorijom za pronalaženje višestrukih korijena (bez znanja o njihovoj višestrukosti). U odjeljku 3 analizira se njegova stabilnost kako bi se zaključila njegova ovisnost o početnim procjenama za jednostavne i višestruke korijene. U odjeljku 4, numerička izvedba metode provjerava se na nekoliko testnih funkcija koje se analiziraju, kao i na njihovim odgovarajućim bazenima privlačenja, u usporedbi s postojećim Schröderovim metodama.

2. Dizajn i analiza konvergencije

Naša polazna točka je shema bez derivacija s memorijom prema Traubu [12],

Glavna prednost ove sheme je njezina sposobnost pronalaženja jednostavnih, kao i višestrukih korijena nelinearne funkcije bez znanja o višestrukosti, s boljom učinkovitošću od SM1. Svakako, koristeći Ostrowskijev indeks učinkovitosti [13], ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 je niži od IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, gdje je svaki indeks I izračunat kao p 1 d, s p koji je redoslijed konvergencije metode, i d količina novih funkcionalnih procjena po iteraciji.

U sljedećem odjeljku napravljena je dinamička analiza ove sheme kako bi se pokazala njezina kvalitativna izvedba na jednostavnim i višestrukim korijenima. Kako je to iterativna metoda s memorijom, mora se koristiti višedimenzionalna stvarna dinamika.

3. Kvalitativna studija predloženih iterativnih metoda s memorijom za višestruki korijen

Napomenimo da naša metoda koristi tri prethodne iteracije za generiranje sljedeće; dakle, može se izraziti općenito a

gdje su x0, x−1 i x−2 početne procjene. Koristeći postupak definiran u Referenci [14], ova se metoda može opisati kao diskretni stvarni višedimenzionalni dinamički sustav, a njegovo kvalitativno ponašanje može se analizirati

Kvalitativna izvedba dinamičkog sustava ima ključni element u karakterizaciji njihovih fiksnih točaka, u smislu stabilnosti. Za izračun fiksnih točaka 1 SF Υ, može se definirati pomoćna vektorska funkcija M: R3 −→ R3, povezana s 1 SF Υ pomoću:

Štoviše, ako postoji svojstvena vrijednost λi Jacobijeve matrice M{{0}} procijenjena u fiksnoj točki x ∗ koja zadovoljava |λi|< 1 i još jedan λj takav da je |λj|> 1, tada se x ∗ naziva sedlasta fiksna točka. Kao proširenje koncepta u jednodimenzionalnoj dinamici, ako svojstvene vrijednosti M0 (x ∗ ) zadovoljavaju |λj |=0 za sve vrijednosti j=1, 2, . . . , m, tada fiksna točka x ∗ nije samo privlačna nego i superatraktna. Stoga, metoda ima kvadratnu konvergenciju, barem na klasi nelinearnih funkcija koje izvode racionalnu funkciju (vidi Referencu [12]).

Smatrajući x∗ privlačnom fiksnom točkom od M, njegov bazen privlačenja A(x∗) je definiran kao skup praslika bilo kojeg reda

Kvalitativnu izvedbu različitih iterativnih shema dizajniranih za rješavanje nelinearnih jednadžbi s višestrukim korijenima proučavali su različiti autori (vidi, na primjer, Referencu [17-19]). Napravljen je korištenjem diskretne složene dinamike, budući da su sve te sheme bez memorije. U tim studijama je utvrđeno da, kada iterativna metoda (bez memorije) dizajnirana za pronalaženje višestrukih korijena djeluje na nelinearnu funkciju s jednostavnim i višestrukim korijenima, prilično je uobičajeno da su bazeni privlačenja jednostavnih korijena uži od one s više korijena. Doista, ti jednostavni korijeni mogu definirati fiksne točke racionalne funkcije koje su odbojne. Stoga bi iterativna metoda trebala moći pronaći samo više korijena.

Sljedeća kvalitativna analiza napravljena je na p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Veći ili jednak 1 tako da je sposobnost sheme da pronađe i jednostavne i testira se višestruki korijen (s višestrukošću m).

Vrlo koristan alat za vizualizaciju analitičkih rezultata je dinamička ravnina sustava, sastavljena od niza različitih bazena privlačenja. Ovdje je dinamička ravnina predložene metode gTM izgrađena izračunavanjem orbite mreže od 800 × 800 početnih točaka (z, x) za fiksnu vrijednost w u početnoj mreži. Kako se iterativne sheme moraju započeti s tri početne procjene, generiramo mrežu dinamičkih ravnina, svaka od njih s fiksnom vrijednošću w u intervalu [−1,75, 1,75]. U tim faznim portretima, svaka točka mreže obojana je različitim bojama (u ovom slučaju narančastom i zelenom), ovisno o atraktoru kojem konvergiraju (označeno kao bijela zvijezda), s tolerancijom od 10−3. Osim toga, pojavljuju se u crnoj boji ako orbita nije dosegla nijednu atraktivnu fiksnu točku u najviše 500 ponavljanja. Kako se fiksna vrijednost w mijenja u vektoru vrijednosti koje pripadaju [−1,75, 1,75], to daje sastav brojki za svaku višestrukost, stvarajući neku vrstu konturnog dijagrama.

Na slici 1 prikazujemo performanse gTM sheme na p(x), odnosno racionalnog operatora TM za jednostavne korijene. Promatrajući ponašanje za različite dijagrame s tri prve iteracije koje variraju u [−2, 2], uočena je stabilna izvedivost. Bazeni privlačnosti korijena su jedini; oni su široki, a jedina drugačija izvedba (bolja od drugih u smislu jednostavnosti granice između bazena) je slučaj w=0, gdje je racionalna funkcija pojednostavljena. U svim slučajevima uočeno je da je jedino moguće ponašanje metode gTM konvergencija prema korijenima.

S druge strane, na slici 2 prikazujemo vrlo sličnu izvedbu kada je jedan od korijena dvostruk, a drugi jednostavan. Bazeni privlačenja jednako su široki, a ovo je ponašanje vrlo slično kada su istražene druge višestrukosti. Osim toga, u ovom slučaju može se vidjeti da postoji samo konvergencija prema korijenima, jer tamnija područja imaju samo sporiju konvergenciju, zbog veće složenosti granice bazena privlačenja.

4. Numerička izvedba i dinamički testovi

U ovom odjeljku uspoređujemo tri metode, naime SM2 (koja zahtijeva poznavanje višestrukosti), SM1 i gTM (izvedena iz Traubove metode). Posljednje dvije metode ne zahtijevaju poznavanje višestrukosti, ali zahtijevaju dodatne funkcionalne procjene po koraku iteracije (tri u slučaju SM1, dvije u slučaju gTM).

Metode se uspoređuju i kvalitativno preko nizova brojki privlačnosti i kvantitativno putem nekoliko mjera. Ove mjere su CPU vrijeme izvođenja za izvođenje metode na točkama u kvadratu 6 x 6 sa središtem u ishodištu. Kvadrat smo podijelili ravnomjerno raspoređenim vodoravnim i okomitim linijama i uzeli sve točke sjecišta kao početne točke za iterativni proces.

Za TM, metodu s memorijom, morali smo uzeti dvije dodatne početne točke x−1=x0 + d i x−2=x0 + 2d, gdje je d razmak redova. Drugi kriterij koji prikuplja kod je prosječan broj iteracija po točki (AIPP), ali, budući da metode zahtijevaju različit broj funkcionalnih evaluacija po koraku, uzeli smo prosječni broj funkcija po točki (AFPP). Treći kriterij je broj divergentnih točaka (DP), što je broj točaka za koje metoda nije konvergirala u 40 iteracija uz toleranciju od 10−7.

Na temelju slike 3 jasno je da SM1 i SM2 imaju slične bazene, a gTM ima više režnjeva na granici između dva bazena. Na slici 4 primjećujemo da je gTM bolji od SM1. Na sljedeće 3 slike, gTM je najbolji, sa širim bazenima privlačenja i užim crnim područjima bez konvergencije prema korijenima. Ova se izvedba održava čak i za nepolinomnu funkciju f5. Štoviše, na slici 8 se može primijetiti da su bazeni privlačenja metode SM2 širi od naše gTM metode.

Sada se pozivamo na podatke u tablicama 1–3. CPU vrijeme rada u sekundama dano je u tablici 2. SM2 je dosljedno brži od ostalih. Ako višestrukost nije poznata, tada je gTM brži od SM1, osim u prvom primjeru. U prosjeku, gTM je brži od SM1.

Prosječan broj evaluacija funkcija po bodu (vidi tablicu 2) najveći je za SM1 za sve primjere. Imajte na umu da je posljednji primjer najteži za sve metode. Broj divergentnih točaka najmanji je za gTM za primjere 1, 3 i 4. SM1 ima najviše divergentnih točaka za prvih 6 primjera, ali u posljednjem primjeru gTM se loše pokazao i zauzeo ukupno treće mjesto. Metoda SM2 bila je najbolja, u prosjeku, za 3 kategorije, a zatim gTM za 2 kategorije.

5. Zaključci

Konstruirana je nova iterativna shema s memorijom s mogućnošću pronalaženja jednostavnih i višestrukih korijena (bez potrebe da se zna njihova višestrukost). To je, koliko znamo, prva metoda s ovim svojstvima u literaturi. Dokazano je da je njegov red konvergencije približno 1,84 s dvije nove funkcionalne evaluacije po iteraciji; ovo daje shemu za poboljšanje učinkovitosti Schröderove sheme bez memorije SM1, koja ima slična svojstva. Koristeći višedimenzionalnu realnu diskretnu dinamiku i polinome niskog stupnja s jednostavnim i višestrukim korijenima, analizirana je stabilnost predložene sheme, pokazujući široka područja konvergencije za obje vrste korijena.

U posljednjem odjeljku, Schröder i gTM metode koje se izvode na nekoliko primjera omogućile su nam da zaključimo da, ako je mnogostrukost unaprijed poznata, tada se SM1 i gTM ne mogu natjecati, iako je gTM bolji od SM1. Međutim, kada višestrukost nije poznata, predložena metoda gTM pokazuje vrlo dobre performanse i bolju učinkovitost od metoda SM1, u smislu vremena izvršenja, troškova računanja i širine bazena privlačenja.

Doprinosi autora:

Konceptualizacija, AC i JRT; metodologija, BN; softver, AC i BN; validacija, BN; formalna analiza, JRT; istraga, AC; pisanje—priprema izvornog nacrta, AC i BN; pisanje—recenzija i uređivanje, JRT; nadzor, BN i JRT Svi su autori pročitali i suglasni s objavljenom verzijom rukopisa.

Financiranje:

Ovo istraživanje djelomično je podržao PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Izjava o informiranom pristanku:

Nije primjenjivo.

Zahvale:

Autori bi željeli zahvaliti anonimnim recenzentima na njihovim prijedlozima i komentarima koji su poboljšali konačnu verziju ovog rukopisa.

Sukob interesa:

Autori izjavljuju da nema sukoba interesa.

Reference

1. Petković, M.; Neta, B.; Petković, L.; Džuni´c, J. Višetočkaške metode za rješavanje nelinearnih jednadžbi; Academic Press: Oxford, UK, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Napredak u iterativnim metodama za nelinearne jednadžbe; SEMA SIMAI Springer Series 10; Springer: Cham, Švicarska, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Nova optimalna shema višeg reda bez derivacija za više korijena. J. Comput. Appl. matematika 2021, 113773, u tisku. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Optimalni numerički algoritam četvrtog reda bez izvoda za više korijena. Symmetry 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Obitelj optimalne iterativne funkcije osmog reda za višestruke korijene i njezina dinamika. J. Math. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Obitelj iterativnih metoda petog reda za pronalaženje višestrukih korijena nelinearnih jednadžbi. Broj. analno Appl. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

8. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Učinkovita klasa metoda četvrtog reda bez izvoda za više korijena. Int. J. Nonlinear Sci. Broj. simul. 2021. [CrossRef]

9. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Obitelj optimalne metode četvrtog reda za višestruke korijene nelinearnih jednadžbi. matematika Metode Appl. Sci. 2020., 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. matematika Ann. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Optimalni poredak iteracije s jednom i više točaka. J. izv. prof. Računanje. Mach. 1974, 21, 643–651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Iterativno rješavanje nelinearnih jednadžbi u nekoliko varijabli; Academic Press: Cambridge, MA, SAD, 1970.

12. Traub, JF Iterativne metode za rješavanje jednadžbi; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, SAD, 1964.

13. Ostrowski, AM Rješenja jednadžbi i sustavi jednadžbi; Academic Press: New York, NY, SAD; London, Velika Britanija, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Višedimenzionalni dinamički pristup iterativnim metodama s memorijom. Appl. matematika Računanje. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Uvod u kaotične dinamičke sustave; Napredak u matematici i inženjerstvu; CRC Press: Boca Raton, FL, SAD, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com